Теория вероятности

   Вероятностью будем называть меру достоверности случайного события.

   Вероятностным пространством называется тройка (Ω, F, P), где

• Ω – множество элементарных событий (исходов);
• F – сигма-алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями;
• P– вероятностная мера (или вероятность), такая что P(Ω) = 1.

   Пример. Рассмотрим эксперимент с бросанием монеты. Вероятностное пространство определим так:

Ω = {0, 1};

F = {{0}, {1}, {0, 1}, };

P({0}) = ½, P({1}) = ½, P({0, 1}) = 1, P({}) = 0.

   Условная вероятность. Для каждого события А и возможного события В, для которого P(B) > 0, условную вероятность события А при условии В определим как

P_B(A) = P(AB) / P(B)

   Формула полной вероятности. Пусть известны:

• вероятности P(B_i) = β_i нескольких исключающих друг друга условий B_i, одно из которых с достоверностью выполняется;
• условные вероятности P_B(A) = α_i события А при условии, что выполняется B_i;

   Тогда вероятность наступления события А равна

   Формула Байеса. Пусть известны:

• вероятности  P(B_i) = β_i возможных исключающих друг друга предположений B_i;
• условные вероятности P_B(A) = α_i события А при условии, что верно предположение B_i;

   Тогда условная вероятность того, что верно предположение B_i при условии реализуемости события А равна

   Пример:На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на первом заводе, 460 на втором и 340 на третьем. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для первого завода равна 0,03, для второго 0,02, для третьего 0,01.

• Какова вероятность того, что случайно выбранный подшипник является нестандартным?
• Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен первым заводом?

   Обозначим через H₁, H₂, H₃ вероятности того, что случайно выбранный подшипник изготовлен соответственно первым, вторым или третьим заводом. Они равны

P(H₁) =200/1000=0,2,     P(H₂) =460/1000=0,46,   P(H₃) =340/1000=0,34

   Пусть A – событие, состоящее в том, что взятый подшипник нестандартный. Из условия задачи следует, что

p₁ = P_H1(A) = 0,03,      p₂ = P_H2(A) = 0,02,    p₃ = P_H3(A) = 0,01

   По формуле полной вероятности

P(A) = P(H₁)·(A) + P(H₂)·(A) + P(H₃)·(A) =

= 0,2·0,03 + 0,46·0,02 + 0,34·0,01 = 0,006 + 0,0092 + 0,0034 = 0,0186

   Найдем P_A(H₁) – вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен первым заводом. По формуле Бейеса имеем

   Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен первым заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.

   Пример: В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

   Пусть событие A заключается в том, что из колоды вытянут король, B – в том, что игрок шулер. Тогда событие  заключается в том, что игрок честный, и P (A | B) = 1, P (A | ) = 1/8. Если взять первого попавшегося игрока, то он вытянет короля с вероятностью

p(A)=p(B)·p(A|B)+p()·p(A|)=

   Обозначим через X событие, заключающееся в том, что игрок, вытянувший короля, – шулер. Тогда

   Случайной величиной называется измеримая функция, заданная на некотором вероятностном пространстве. Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается ее распределением.

   Случайная величина ζ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и q = 1–p соответственно. Событие ζ = 1 соответствует успеху, а ζ = 0 – неудаче. Таким образом, P(ζ = 1) = p, P(ζ = 0) = q.

    Пусть X₁, X₂, …, X_n – конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то естьP(X_i = 1) = p, P(X_i = 0) = q, i = 1, 2, …, n.

   Построим случайную величину Y = . Тогда число единиц (успехов) в последовательности имеет биномиальное распределение, причем

   Если одновременно устремить число опытов n к бесконечности, а вероятность p к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение np = λ, то предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде

   Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Если через λ обозначить интенсивность событий случайной величины Y, то

   Пример: Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

   Так как по условию n = 1000 достаточно велико, а p = 0,002 мало, то можно воспользоваться распределением Пуассона:

, где λ = np = 1000·0,002 = 2

   Имеем:

   Геометрическое распределение. Пусть X₁, X₂, …, X_n – конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли. Построим случайную величину , обозначающее количество неудач до первого успеха. Случайная величина Y имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха p, причем

P(Y = n) = qⁿ·p

   Пример: Пусть игральный кубик выбрасывается до выпадения первой шестерки. Тогда вероятность того, что потребуется не больше трех бросаний, равна

P(Y ≤ 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) =

   Гипергеометрическое распределение. В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N–M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в этой партии будет случайной величиной, которую обозначим Y. Ее распределение имеет вид:

P(Y = k) =

    Пример: Пусть в урне находится 5 белых и 45 черных шаров. Вы закрываете глаза и вытаскиваете 10 шаров. Какова вероятность вытянуть ровно 4 белых шара?

   В наших обозначениях N = 50, M = 5, n = 10, k = 4. Искомая вероятность равна

P(Y = 4) = ≈ 0,003964583

   Функция распределения случайной величины F_ζ(x) = P(ζ < x) удовлетворяет трем свойствам:

• F_ζ(x) является неубывающей функцией;
• 
• F_ζ(x) является непрерывной справа.

   Пусть случайная величина Х распределена равномерно на отрезке[a; b]. Ее функция распределения имеет вид:

   Цепь Маркова. Пусть {E₁, E₂, ..., E_k} – множество состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться в одном состоянии и меняет свое состояние только в моменты t₁, t₂, ..., t_n, .... Для однородных цепей Маркова вероятность p_ij перехода системы из состояния E_i в состояние E_jза один шаг зависит только от того, из какого состояния в какое осуществлялся переход.

   Вероятности перехода p_ij удобно располагать в виде матрицы. Обозначим ее

и будем называть матрицей перехода однородной цепи Маркова за один шаг. Матрица P обладает следующими свойствами:

а) 0 ≤ p_ij ≤ 1   б) = 1 (i = 1, 2, …, k),

т.е. сумма элементов каждой строки матрицы перехода равна единице. Квадратные матрицы, для которых выполняются условия а) и б), называются стохастическими.

   Вектор a = (a₁, a₂, …, a_k), где a_i = P(E_i) – вероятность появления состояния E_i (i = 1, 2, ..., k) в начальном испытании, называется вектором начальных вероятностей.

   Матрица перехода  за n шагов находится как  Pⁿ.

   Если из состояния E_i система может перейти в состояние E_j с положительной вероятностью за конечное число шагов, то говорят, что E_j достижимо из E_i. Состояние E_i называется существенным, если для каждого состояния E_j, достижимого из E_i, E_i  достижимо из E_j. В противном случае E_i называется несущественным состоянием.